量子統計力学の深奥 その１
熱揺らぎとは何か？
first appeared: 2011/08/26, last
update: 2011/09/08
今、長年やってきた統計力学の講義ノートを、「統
計力学の基礎」という本にする作業をしている。例によって、教科書にするからには、講義で触れなかった深い話も、（僕の本を読んだことがある方な
らご存じの）「スペードマーク」を付けた節に書く方針である。
こうした深い話というのは、どの教科書にも論文にも書いてなかったり、書いてあったとしてもきわめて不十分・不正確なことが多い。だから、友人の物理学者
たちに相談したりしながら、自分の頭でいろいろと考えるわけだが、しばしばその内容は、既知の物理学の整理にとどまらず、新しい発見になってくることすら
ある。（「熱力学の基礎」の時は、そういう話をひとつ論文にして出版したこともある）。
「統計力学の基礎」も、「スペードマーク」ネタは尽きない。そのうちのいくつかを、雑記帳に書くことにした。その手始めとして、杉浦君との研究でわかってきた事を少しずつ書く。その第一弾は、熱揺らぎとは何か？である。
（これはつまり、量子統計力学の深奥その１の中の、杉浦君との研究ネタ
のその１。）
量子統計力学では、通常は、熱平衡状態をミクロカノニカル集団などの密度演算子で表す。それは、エネルギー固有状態\( | n \rangle
\)を用いると、
\[
\rho = \sum_n w_n \, |n\rangle \langle n| \mbox{(\( w_n \)
は非負定数）
}
\]
と表せる。これは、量子論的には、純粋状態ではなく混合状態である。そこで、物理量の揺らぎを、個々の純粋状態 \( | n \rangle \)
が持つ揺らぎと、それらを確率 \( w_n \) で混合したことによる揺らぎとの、２つの部分からなる、と考えることが多い。
具体的には、たとえば磁化 \( M \) の揺らぎ\( \delta M^2 \)だったら、
\( \langle \delta M^2 \rangle = \) 熱平衡状態状態における揺らぎ
\( = \) 状態 \(
\rho \) における揺らぎ
を、
\( \langle \delta M^2 \rangle_q := \) 個々の純粋状態\( |n \rangle
\)が持つ揺らぎ \( \langle n | \delta M^2 | n \rangle \) を確率 \( w_n \)で平均したもの
と、
\( \langle \delta M^2 \rangle_m := \langle \delta M^2 \rangle -
\langle \delta M^2 \rangle_q \)
\(
= |n \rangle \) を確率 \( w_n \)で混合したことによる揺らぎ
のように分けて考え、\( \langle \delta M^2 \rangle_q \) を「量子ゆらぎ」（の平均値）、\( \langle \delta M^2
\rangle_m \) を「熱揺らぎ」と呼ぶのが一般的だろう
（バリエーションはあるが、本質的にはこれと同様だろう）。
ところが、量子系の密度演算子を、純粋状態の混合として表す仕方は、
一意的ではない。つまり、\( |n \rangle \) を重ね合わせて作った適当な純粋状態 \( |t \rangle \)
を用いて、
\[
\rho = \sum_t w_t \, |t \rangle \langle t | \mbox{(\( w_t
\) は非負定数）
}
\]
とも表せるのだ（ただし、\( w_t \) の値の分布は、\( w_n \) の値の分布と同じになる）。\( \rho \)
そのものは全く変わっていないが、それを具体的に表した形だけが異な
る。そのため、\( \langle \delta M^2 \rangle \)
は上と変わらないが、この形を用いて定義した「量子ゆらぎ」と「熱揺らぎ」の大きさは、上とは異なってくる。
従って、量子統計力学においては、「熱揺らぎ」というの
は、well-defined な量ではなく、ρの表し方（純粋状態への分解の仕方）に依存して変わってしまう量な
のである。
この結論も意外かもしれないが、真に驚くべき事は、杉浦君と発見した次の事実である：
純粋状態|t>をうまく構成すれば、有限温度の熱平
衡状態における揺らぎを、すべて量子ゆらぎに押し込めることができて、熱揺らぎをゼロにできる！
つまり、通常の（上記の）意味の量子ゆらぎと熱揺らぎの両
方を、量子ゆらぎとして含むような、純粋状態|t>を構成することができるのだ。
その結果、有限温度の熱平衡状態を、混合状態であるカノニ
カル集団などの密度演算子ではなく、たったひとつの純粋状態で表すことができてしまう。その意味
は、
あらゆるマクロ変数について、その平衡値だけでな
く、揺らぎや相関関数まで、たったひとつの純粋状態で正しく計算できてしまう
ということである。
注意： よく知られた、「対象系だけでなく熱浴を含む大きな系を考えれば、純粋状態で平衡状態を表せる」という類いの事とは全く違います。対象系だけのヒルベルト空間の純粋状態で表せるのです。
注意：
これはもちろん、統計力学ですから、可観測量をマクロ物理量に限
定したときの話です。2点相関関数も、
実は、マクロ物理量の2次相関として表せるので、これに当てはまります。
注意：
対象系の中の小さな部分系におけるマクロ変数のゆらぎならば、 \( |n \rangle \)で計算しようが \( |t \rangle
\)で計算しようが（圧倒的な確率で）同じになることが示せますが、ここで論じているのは、対象系全体におけるマクロ変数のゆらぎです。ですので、無限
系の理論に登場する、熱平衡状態を状態ベクトルで表したものとも違います。
マクロ変数の平衡値がひとつの純粋状態(typical
state? archetypal state? --- 名前を募集中)で正しく計算できるというだけならば、僕の講義ノートや田崎さ
んの統計力学の教科書で勉強した人ならば、驚きはしない（そうでない人は驚くか
もしれないが）。しかし、そういう純粋状態は、（対象系全体の）揺らぎや相関関数については、一般には正しい値を与えない。熱揺らぎの分だけずれてしま
う。
ところが、杉浦君と僕は、熱揺らぎまで完全に取り込んだ純粋状態（いわば、most typical state among many
possible typical states)を構成できることを見つけたのだ。
しかも、そのような純粋状態を
具体的に求める手段まで見いだしたのだが、それについては次回。