有限系におけるゲージ対称性の破れをどう理解するか？

2008/04/17, 2008/04/08

ハミルトニアンと秩序変数が交換しないような相転移の統計力 学には、色々と非自明なことが内包されている。

エネルギーと秩序変数を同時対角化できないので、「真空状態」 （平衡状態の絶対零度極限）を、素朴にエネルギーと秩序変数の同時固有状態に選ぶわけにはいかないからだ。

ところが、これを単純に、「とにかくエネルギー固有状態を選べばよい」と誤解している議論を見かける。特に、BECや超伝導などの、ゲージ対称性の破れが 起こるケースで、この素朴すぎる議論をしているのを、最近よく見聞きするようになった。

それではまずいので、2007年の秋に（数理解析研の小嶋先生の要請もあって）数理解析研で、2008年には高エネ研で詳しい解説をした。

いずれきちんとした論文を書くつもりではありますが、それはいつになるか分からないので、とりあえず、その原稿とスライドを公開いたします。


これらの中ではいくつかの問題を論じていますが、たとえば、２つの対立する考え方を対比しています：

A) Nの定まった孤立系を考え、その基底状態が、vacuumである。Nの異なる状態を重ね合わせるなんて、もってのほか。

B) 「Nの定まった孤立系」と、「わずかにNを環境とやりとりする系」では、実現される状態が大きく異なるので、どちらかを選ぶ必要がある。マクロ物理学と整 合するのは後者なので、よほどエキセントリックな（無限系と繋がらない）実験を想定しない限りは、後者を選ぶべし。

このAの見方に欠けているのは、マクロ物理学（特に無限体積極限）を論じるには、部分系を見れば十分である事と、部分系を見たときには、物理量（可観測量）はゲージ不変とは限らないという事実です。

僕はBが正しいと主張しています。実際、次のことが示せます：

全系は閉じていて、粒子数の定まった状態にあるとする。

それを、２つの部分系SとE（環境）に分割して考え、Eはいっさい測らないとする。

Eの粒子密度は、Sと同じでもいいし、違っていてもいい（つまり、全系は一様でもいいし、不均一でもいい）が、
        Eの平均粒子数 >> Sの平均粒子数
とする。

SをさらにS1, S2に分割して考える。このとき、Sの状態として、
         |α1>|α2>
という純粋状態が可能である。（|α1>, |α2>というのは、それぞれS1, S2の純粋状態で、coherent stateを相互作用のある系に一般化したもの）この状態では、Eの粒子数は定まっていない。

なお、Sの分割の仕方は任意であり、S1', S2'に分割して考えてもよい。そのとき、
        |α1>|α2>=|α1'>|α2'>
である。

ですので、しばしば耳にする次のような主張は、全て誤りです：

「BECでは、秩序変数の期待値はいつもゼロで、ただlong-range orderがあるだけだ」

「２つの系の間のsuper currentが確定している状態で、２つの系がエンタングルしていないなどというのは、あり得ない」

「どんなに系のサイズが大きくなろうとも、系の粒子数は可観測量であり、無限系もそう考えるべきだ」

「上記のAは正しいがBは間違い」